1. Bilangan Asli
Dalam matematika, terdapat dua kesepakatan mengenai himpunan
bilangan asli. Yang pertama definisi menurut matematikawan tradisional, yaitu
himpunan bilangan bulat positif yang bukan nol {1, 2, 3, 4, ...}. Sedangkan
yang kedua definisi oleh logikawan dan ilmuwan komputer, adalah himpunan nol
dan bilangan bulat positif {0, 1, 2, 3, ...}. Bilangan asli merupakan salah
satu konsep matematika yg paling sederhana dan termasuk konsep pertama yang
bisa dipelajari dan dimengerti oleh manusia, bahkan beberapa penelitian
menunjukkan beberapa jenis kera juga bisa menangkapnya.
Wajar apabila bilangan asli adalah jenis pertama dari bilangan
yang digunakan untuk membilang, menghitung, dsb. Sifat yang lebih dalam tentang
bilangan asli, termasuk kaitannya dengan bilangan prima, dipelajari dalam teori
bilangan. Untuk matematika lanjut, bilangan asli dapat dipakai untuk
mengurutkan dan mendefinisikan sifat hitungan suatu himpunan.
Setiap bilangan, misalnya bilangan 1, adalah konsep abstrak yg
tak bisa tertangkap oleh indera manusia, tetapi bersifat universal. Salah satu
cara memperkenalkan konsep himpunan semua bilangan asli sebagai sebuah struktur
abstrak adalah melalui aksioma Peano (sebagai ilustrasi, lihat aritmetika Peano).
Konsep bilangan-bilangan yg lebih umum dan lebih luas memerlukan
pembahasan lebih jauh, bahkan kadang-kadang memerlukan kedalaman logika untuk
bisa memahami dan mendefinisikannya. Misalnya dalam teori matematika, himpunan
semua bilangan rasional bisa dibangun secara bertahap, diawali dari himpunan
bilangan-bilangan asli.
Asli/Sail adalah himpunan bilangan bulat positif yang bukan nol.
Nama lain dari bilangan ini adalah bilangan hitung atau bilangan yang bernilai
positif (integer positif).
Contoh: 1,2,3,4,5,6,7,8,….
2.Bilangan Prima
Dalam matematika, bilangan prima adalah bilangan asli yang lebih
besar dari 1, yang faktor pembaginya adalah 1 dan bilangan itu sendiri. 2 dan 3
adalah bilangan prima. 4 bukan bilangan prima karena 4 bisa dibagi 2. Sepuluh
bilangan prima yang pertama adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 dan 29.
Jika suatu bilangan yang lebih besar dari satu bukan bilangan
prima, maka bilangan itu disebut bilangan komposit. Cara paling sederhana untuk
menentukan bilangan prima yang lebih kecil dari bilangan tertentu adalah dengan
menggunakan saringan Eratosthenes
Secara matematis, tidak ada "bilangan prima yang
terbesar", karena jumlah bilangan prima adalah tak terhingga.[1] Bilangan
prima terbesar yang diketahui per 2013 adalah 257,885,161 − 1.[2] Bilangan ini
mempunyai 17,425,170 digit dan merupakan bilangan prima Mersenne yang ke-48.
M57885161 (demikian notasi penulisan bilangan prima Mersenne ke-48) ditemukan
oleh Curtis Cooper pada 25 Januari 2013 yang merupakan profesor-profesor dari
University of Central Missouri bekerja sama dengan puluhan ribu anggota lainnya
dari proyek GIMPS.
Jadi bilangan prima adalah bilangan-bilangan sail/asli
yang hanya bisa dibagi dirinya sendiri dan satu, atau bilangan yang memiliki 2
faktor, dan angka satu bukan bilangan prima.
Contoh: 2,3,5,7,11,13,17,….
3.Bilangan Cacah
Bilangan cacah adalah himpunan bilangan bulat yang tidak
negatif, yaitu {0, 1, 2, 3 ...}. Dengan kata lain himpunan bilangan asli
ditambah 0. Jadi, bilangan cacah harus bertanda positif. Bilangan cacah juga
merupakan bilangan bulat positif digabung dengan nol.
Contoh: 0,1,2,3,4,5,6,7,….
4.Bilangan Bulat
1. Bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat negatif, nol, dan
bilangan bulat positif.
2. Sifat-sifat penjumlahan pada bilangan bulat:
a. Sifat tertutup
Untuk setiap bilangan bulat a dan b, berlaku a + b = c dengan c
juga bilangan bulat.
b. Sifat komutatif
Untuk setiap bilangan bulat a dan b, selalu berlaku a + b = b + a.
c. Sifat asosiatif
Untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c selalu berlaku (a + b) + c = a + (b +
c).
d. Mempunyai unsur identitas
Untuk sebarang bilangan bulat a, selalu berlaku a + 0 = 0 + a.
Bilangan nol (0) merupakan unsur identitas pada penjumlahan.
e. Mempunyai invers
Untuk setiap bilangan bulat a, selalu berlaku a + (–a) = (–a) +
a = 0. Invers dari a adalah –a, sedangkan invers dari –a adalah a.
3. Jika a dan b bilangan bulat maka berlaku a – b = a + (–b).
4. Operasi pengurangan pada bilangan bulat berlaku sifat
tertutup.
5. Jika p dan q bilangan bulat maka
a. p x q = pq;
b. (–p) x q = –(p x q) = –pq;
c. p x (–q) = –(p x q) = –pq;
d. (–p) x (–q) = p x q = pq.
6. Untuk setiap p, q, dan r bilangan bulat berlaku sifat
a. tertutup terhadap operasi perkalian;
b. komutatif: p x q = q x p;
c. asosiatif: (p x q) x r = p x (q x r);
d. distributif perkalian terhadap penjumlahan: p x (q + r) = (p
x q) + (p x r);
e. distributif perkalian terhadap pengurangan: p x (q – r) = (p
x q) – (p x r).
7. Unsur identitas pada perkalian adalah 1, sehingga untuk setiap
bilangan bulat p berlaku p x 1 = 1 x p = p.
8. Pembagian merupakan operasi kebalikan dari perkalian.
9. Pada operasi pembagian bilangan bulat tidak bersifat
tertutup.
10. Apabila dalam suatu operasi hitung campuran bilangan bulat
tidak terdapat tanda kurung, pengerjaannya berdasarkan sifat-sifat operasi
hitung berikut.
a. Operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–) sama kuat,
artinya operasi yang terletak di sebelah kiri dikerjakan terlebih dahulu.
b. Operasi perkalian ( x ) dan pembagian (:) sama kuat, artinya
operasi yang terletak di sebelah kiri dikerjakan terlebih dahulu.
c. Operasi perkalian ( x ) dan pembagian (:) lebih kuat daripada
operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–), artinya operasi perkalian ( x )
dan pembagian (:) dikerjakan terlebih dahulu daripada operasi penjumlahan (+)
dan pengurangan (–).
Jadi bilangan bulat adalah bilangan yang terdiri dari seluruh
bilangan baik negatif, nol dan positif.
Contoh: -3,-2,-1,0,1,2,3,….
5. Bilangan Rasional
Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan
sebagai p/q dimana p,q ϵ bulat dan q ≠ 0 atau dapat dinyatakan sebagai
suatu bilangan desimal secara berulang ulang. Bilangan rasional juga merupakan
bilangan yang dapat dinyatakan sebagai a/b dimana a, b bilangan bulat dan b
tidak sama dengan 0. dimana batasan dari bilangan rasional adalah mulai dari
selanga (-∞, ∞).
Bilangan bisa dikatakan dapat dibagi menjadi 2 sekup besar yaitu
bilangan rasional dan bilangan irasional. Bila kita mengatakan bilangan
rasional berarti di dalamnya sudah mencakup bilangan-bilangan lain seperti:
bilangan bulat, bilangan asli, bilangan cacah, bilangan prima dan
bilangan-bilangan lain yang menjadi subset dari bilangan rasional.
Contoh dari bilangan rasional:
Jika a/b = c/d maka, ad = bc.
Bilangan rasional juga merupakan bilangan-bilangan yang
merupakan rasio (pembagian) dari dua angka (integer) atau dapat dinyatakan
dengan a/b, dimana a merupakan himpunan bilangan bulat dan b merupakan himpunan
bilangan bulat tetapi tidak sama dengan nol.
Contoh :
{½, ⅓, ⅔, ⅛, ⅜, ⅝, ⅞, ...}
Bilangan pecahan/ pecahan-pecahan termasuk sekumpulan bilangan
rasional.
Pecahan desimal adalah pecahan-pecahan dengan bilangan penyebut
10, 100, dst. { 1/10, 1/100, 1/1000 }, semua bilangan ini dapat ditemukan dalam
garis-garis bilangan.
Sebuah bilangan asli dapat dinyatakan dalam bentuk bilangan
rasional. Sebagai contoh bilangan asli 2 dapat dinyatakan sebagai 12/6
atau 30/15 dan sebagainya.
Bilangan Rasional diberi lambang Q (berasal dari
bahasa Inggris “quotient”).
Contoh: -2,2/7,5,2/11,….
6. Bilangan Irrasional
Dalam matematika, bilangan irasional adalah bilangan riil yang
tidak bisa dibagi (hasil baginya tidak pernah berhenti). Dalam hal ini,
bilangan irasional tidak bisa dinyatakan sebagai a/b, dengan a dan b sebagai
bilangan bulat dan b tidak sama dengan nol. Jadi bilangan irasional bukan
merupakan bilangan rasional. Contoh yang paling populer dari bilangan irasional
ini adalah bilangan π, \sqrt2 , dan bilangan e.
Bilangan π sebetulnya tidak tepat, yaitu kurang lebih 3.14,
tetapi
= 3,1415926535.... atau
= 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399
37510...
Untuk bilangan \sqrt2 :
= 1,4142135623730950488016887242096.... atau
= 1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694
80731 76679 73798..
dan untuk bilangan e:
= 2,7182818....
Sejarah
http://bits.wikimedia.org/static-1.22wmf4/skins/common/images/magnify-clip.png
Bilangan \scriptstyle\sqrt{2}adalah bilangan irasional.
Menurut sejarah, penemu bilangan irasional adalah Hippasus dari
Metapontum (ca. 500 SM). Sayangnya, penemuannya tersebut justru menyebabkan ia
dihukum mati oleh Pythagoras karena dianggap penganut ajaran sesat.
Dalam doctorate in Absentia-nya di tahun 1799, A new proof of
the theorem that every integral rational algebraic function of one variable can
be resolved into real factors of the first or second degree, Gauss memberikan
bukti teorema fundamental aljabar yang menyatakan bahwa setiap-tiap dari
polinomial variabel tunggal bukan-konstanta dengan koefisien kompleks memiliki
paling sedikit atau setidaknya satu akar kompleks. Namun banyak matematikawan
termasuk Jean le Rond d'Alembert yang memberikan bukti yang salah pada
awalnya,dan disertasi Gauss juga banyak mengkritik kerja d'Alembert.
Namun sekali lagi, ironisnya, dengan menggunakan standar
sekarang percobaan milik Gauss tidak dapat diterima, yang menyebabkan
penggunaan secara implisit teorema Kurva Jordan di dalam kurva fraktal. Bagaimanapun,
dia secara berkelanjutan memberikan tiga bukti yang lain,yang terakhir pada
1849 yang dikenal sukar. Upayanya dalam mengklarifikasi konsep mengenai
bilangan kompleks memang banyak dibicarakan (dari contoh bilangan irasional
paling terkenal :\sqrt{-x} = i \sqrt x.,memecahnya dengan menempatkan minus
pada satu tingkat dibawah sumbu imajiner dan x pada sumbu positif real,Gauss
mengubah bilangan irasional yang sebelumnya dianggap bilangan antara ada dan
tiada menjadi dapat diperhitungkan, lihat secara khusus polar kompleks).
Gauss juga memberikan kontribusi sangat penting bagi teori
bilangan. Di dalam bukunya di tahun 1801, Disquisitiones Arithmeticae (bahasa
Latin:, Investigasi Aritmetika), yang mana, dalam banyak hal, Gauss
memperkenalkan penggunaan notasi ≡ untuk kekongruenan dan menggunakannya dalam
presentasi yang baik di dalam aritmetika modular.
Abad ke-19 menyaksikan perkembangan cepat konsep bilangan
imajiner di tangan Abraham de Moivre,dan secara khusus Leonhard Euler, yang
menjadikannya lebih berdaya guna. Penyelesaian teori mengenai bilangan kompleks
di abad ke-19 membedakan bilangan irasional menjadi bilangan aljabar dan
transenden. Bukti keberadaan bilangan transenden, dan menjamurnya studi-studi
saintifik mengenai teori bilangan irasional telah lama dipikirkan sejak Euclid.
Tahun 1872 menyaksikan publikasi dari teori-teori dari Karl Weierstrass (oleh
muridnya, Ernst Kossak), Eduard Heine (Crelle's Journal, 74), Georg Cantor
(Annalen, 5), dan Richard Dedekind. Meray memulai pada 1869,sama dengan Heine,
tetapi teorinya dikutip secara umum pada 1872.
Pecahan kontinyu, yang berhubungan dekat dengan bilangan
irasional, mendapat perhatian di tangan Euler, dan akhirnya,fajar abad ke-19
benar-benar dibawa menuju keagungan lewat tulisan-tulisan Joseph Louis
Lagrange. Dirichlet juga menambahkan dalam teori umumnya, seperti juga banyak
sekali kontributor untuk penerapan mengenai subyek ini.
Bilangan irrasional juga merupakan bilangan real yang tidak bisa
dibagi atau lebih tepatnya hasil baginya tidak pernah berhenti. Sehingga tidak
bisa dinyatakan a/b.
Contoh :
π
= 3,141592653358……..
√2
= 1,4142135623……..
e
= 2,71828281284590…….
Contoh: log 2, e, √7, i
7. Bilangan Real
Bilangan real atau bilangan riil menyatakan bilangan yang dapat
dituliskan dalam bentuk decimal, seperti 2,86547… atau 3.328184. Dalam notasi
penulisan bahasa Indonesia, bilangan desimal adalah bilangan yang memiliki
angka di belakang koma “,” sedangkan menurut notasi ilmiah, bilangan desimal
adalah bilangan yang memiliki angka di belakang tanda titik “.”. Bilangan real
meliputi bilangan rasional, seperti 42 dan −23/129, dan bilangan irrasional,
seperti π dan √2, dan dapat direpresentasikan sebagai salah satu titik dalam
garis bilangan.
Himpunan semua bilangan real dalam matematika dilambangkan
dengan R (berasal dari kata “real”).
Contoh: log 10, 5/8, -3, 0, 3
8.Bilangan Imajiner
Bilangan imajiner adalah bilangan i (satuan imajiner) dimana i
adalah lambing bilangan baru yang bersifat i2 = -1. Bilangan imajiner merupakan
bilangan yang mempunyai sifat i2 = −1. Bilangan ini merupakan bagian dari
bilangan kompleks. Secara definisi, bilangan imajiner i ini diperoleh dari
penyelesaian persamaan kuadratik :
x2 + 1 = 0
atau secara ekuivalen
x2 = -1
atau juga sering dituliskan sebagai
x = √-1
Contoh: i, 4i, 5i
9.Bilangan Kompleks
Bilangan kompleks adalah suatu bilangan yang merupakan
penjumlahan antara bilangan real dan bilangan imajiner atau bilangan yang
berbentuk a + bi.
Dimana a dan b adalah bilangan real, dan i adalah bilangan
imajiner tertentu. Bilangan real a disebut juga bagian real dari bilangan
kompleks, dan bilangan real b disebut bagian imajiner. Jika pada suatu bilangan
kompleks, nilai b adalah 0, maka bilangan kompleks tersebut menjadi sama dengan
bilangan real a.
Contoh :
{3 + 2i}
Jadi bilangan kompleks adalah bilangan yang anggota-anggotanya
(a+bi) dimana a, b ϵ R, i2 = -1, dengan a bagian riil dan b bagian imajiner.
Contoh: 2-3i, 8+2
10. Bilangan Pecahan
Bilangan pecahan adalah bilangan yang disajikan/ ditampilkan
dalam bentuk a/b; dimana a, b bilangan bulat dan b ≠ 0.
a disebut pembilang dan b disebut penyebut.
Bilangan pecahan adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai
p/q, dengan p dan q adalah bilangan bulat dan q ≠0. Bilangan p disebut
pembilang dan bilangan q disebut penyebut. Pecahan dapat dikatakan senilai
apabila pecahan tersebut mempuyai nilai atau bentuk paling sederhana sama
Contoh:
5/7; 5 dikatakan sebagai pembilang dan 7 dikatakan sebagai
penyebut
10/45; 10 dikatakan sebagai pembilang dan 45 dikatakan sebagai
penyebut
Berikut ini merupakan jenis-jenis pecahan:
1) Pecahan Biasa
Yaitu pecahan dengan pembilang dan penyebutnya merupakan
bilangan bulat
Contoh:
1/4 , 2/5 , 9/10
2) Pecahan Murni
Yaitu pecahan yang pembilang dan penyebutnya merupakan bilangan
bulat dan berlaku pembilang kurang atau lebih kecil dari penyebut. Pecahan
murnai dapat dikatakan sebagai pecahan biasa tetapi pecahan biasa belum tentu
dapat dikatakan sebagai pecahan murni
Contoh:
1/6 , 3/5, 7/15
3) Pecahan campuran
Pecahan yang terdiri atas bagian bilangan bulat dan bagian
pecahan murni
Contoh:
3 ½, 4 ½, 5 ¾,
4) Pecahan desimal
Yaitu pecahan dengan penyebut 10, 100, 1000, dan seterusnya, dan
ditulis dengan tanda koma,
Contoh:
0,4; 4,6; 9,2
5) Persen atau perseratus
pecahan dengan penyebut 100 dan dilambangkan dengan %
Contoh:
4% artinya 4/100
35% artinya 35/100
6) Permil atau perseribu
Yaitu pecahan dengan penyebut 1.000 dan dilambangkan dengan%0
Contoh:
8%0 artinya 8/1000
125%0 artinya 125/1000
11. Bilangan Komposit
Bilangan komposit adalah bilangan asli lebih besar dari 1 yang
bukan merupakan bilangan prima. Bilangan komposit dapat dinyatakan sebagai
faktorisasi bilangan bulat, atau hasil perkalian dua bilangan prima atau lebih.
Atau bisa juga disebut bilangan yang mempunyai faktor lebih dari dua.
Contoh :
{4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, …}
Komentar
Posting Komentar